Actividad 1

Definición de ángulo y clasificación

Un ángulo es la porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen.

Las semirrectas que forman el ángulo son sus lados. El punto en el que se encuentran es el vértice.

Clasificación de ángulos:

• El ángulo llano (180º) es el que abarca la mitad del plano y está formado por dos semirrectas opuestas que tienen su origen en el vértice del ángulo.
• El ángulo recto (90º) es la mitad del llano y está formado por lados perpendiculares.
• El ángulo agudo (<90º) es el que abarca un arco menor que el recto.
• El ángulo obtuso (>90º) es el que abarca un arco mayor que el recto y menor que el llano.

Por otra parte podemos clasificar a los ángulos de una manera más general; en ángulos cóncavos y ángulos convexos:

• El ángulo cóncavo (>180º) es el que es mayor que un llano.
• El ángulo convexo (<180º) es el que es menor que un llano

En el siguiente enlace podéis ver una explicación con los aspectos teóricos sobre rectas y ángulos que podéis necesitar: http://www.genmagic.org/mates1/ra1c.swf (elegid la tercera opción: ángulos).

Actividades

Vamos a dibujar ángulos con una herramienta interactiva que nos indicará en todo momento cuánto mide el ángulo formado por dos segmentos. La aplicación mostrará una imagen como la siguiente:

Con esta herramienta vais a poder dibujar ángulos centrales de la circunferencia de diferentes tamaños y confirmar el tipo de ángulos que son: agudos, convexos, obtusos, etc., además de su valor en grados.

En la propia aplicación se os propone dibujar los ángulos más comunes, que serán los que en cursos posteriores aparecerán en el tema de trigonometría.

Abrir aplicación: Dibujando_angulos.html

Para medir ángulos se utiliza el goniómetro o transportador. Haced clic en este enlace para hacer algunos ejercicios de uso del mismo. Tenéis que mover el transportador sobre el ángulo y escribir abajo la medida obtenida: http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/misc_primaria/ applets/Medirangulo1.html

En esta actividad tendréis que identificar ángulos y asociarlos al tipo al que pertenecen. También deberéis calcular el valor del ángulo en grados sexagesimales. A continuación, tenéis un ejemplo de lo que se debe realizar con los diferentes ángulos que aparecen en la hoja de ejercicios:

Por ejemplo, el siguiente ángulo es obtuso y convexo y su valor es de 150º.

Completad la tabla del documento tipos_angulos.zip (.odt).

Podéis imprimir el documento y utilizar vuestro transportador de ángulos para ayudaros.

Podéis ver las soluciones haciendo clic aquí: tipos_angulos_sol.pdf.

A continuación, vamos a calcular los valores de los ángulos que nos podemos encontrar en diferentes situaciones. Antes de comenzar con el ejercicio podéis practicar el cálculo del valor de diferentes ángulos con estos juegos:

• Calcular el valor de un ángulo con el transportador: http://www.educaplus.org/play-10-Transportador.html

• Jugar a acertar el valor aproximado de un ángulo:
  http://www.educaplus.org/play-162-Estimaci%C3%B3n-de-%C3%A1ngulos.html

Empezamos con las diferentes situaciones:

1.

Cuando dos rectas se cortan y conocemos el valor de uno de los ángulos formados. Tened en cuenta que los ángulos son suplementarios, es decir, suman 180º. Por lo tanto, en este caso xº = 180º – 130º = 50º.

• Podéis comprobarlo haciendo clic aquí: Explicación primera actividad.html (actividad izquierda).

Calculad el valor de “x” en los siguientes casos:

2.

En el caso en el que dos rectas paralelas son atravesadas por otra y sabemos el valor de uno de los ángulos, tenemos que ser conscientes de que el ángulo formado con la otra recta paralela será similar. En el ejemplo, “x” será, por ello, 150º.

• Podéis comprobarlo de nuevo aquí: Explicación primera actividad.html (actividad derecha).

Calculad el valor de “x” en los siguientes casos:

3.

En un triángulo en el que conocemos el valor de dos de los tres ángulos y debemos descubrir el del tercero tendremos que tener en cuenta que la suma de los tres será siempre 180º. En este ejemplo, x = 180º – ( 70º + 30º ) = 80º

• Podéis comprobarlo aquí: Suma de los ángulos de un triángulo.html

Calculad el valor de “x” en los siguientes casos:

• Midiendo directamente el valor de un ángulo mediante el transportador. Deberemos localizar el centro de la semicircunferencia que forma el goniómetro sobre el vértice del ángulo y uno de los lados de la base del transportador sobre uno de los lados del ángulo:

Calculad el valor del siguiente ángulo disponiendo el transportador como se indica:

Imagen: Luigi Chiesa, Wikipedia

Actividad 2

Medida de ángulos en una distribución de red centralizada: el ejemplo del baile de la abejas

Karl Von Frisch (1886-1982) descubrió cómo informan las abejas que han localizado flores ricas en néctar a sus compañeras de colmena: lo hacen danzando. Si las flores están cerca, a menos de 50-100m, la abeja que las ha descubierto interpreta en el interior de la colmena un baile en círculos, alternando vueltas en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario. Consigue así que sus compañeras salgan a pecorear a la búsqueda de la comida que ella ha descubierto. En cambio, si las flores están más alejadas de 50-100m de la colmena el baile que la abeja interpretará será en forma de ocho (8). La exploradora describe una figura similar a un ocho: primero un círculo, después una línea recta en la que agita el abdomen de un lado a otro, y por último, otro círculo girando en sentido contrario al primero.

Fuente: http://es.wikipedia.org/ wiki/karl_r._von_frisch

En el vídeo se explica la relación entre el ángulo con el que agita el cuerpo la abeja respecto de la vertical y la posición de la fuente de alimento con respecto al Sol. Podemos encontrarnos con diferentes casos:

• Si la abeja recorre la línea recta del ocho ascendiendo en vertical sobre el panal, señala que ha localizado la comida en la dirección del Sol.
• Si la comida, en cambio, se encuentra en la dirección opuesta a la del Sol, la abeja sacudirá su cuerpo también en vertical pero en sentido descendente.
• Si el alimento ha sido localizado 40º a la izquierda, o a la derecha, del Sol la línea recta forma un ángulo de 40º con la vertical (a la izquierda o a la derecha de ella).

Veamos en unos gráficos las diferentes posibilidades que se puede encontrar una pecoreadora al salir de la colmena:

Alimento cerca: baile circular

Alimento a más de 100m en sentido opuesto al Sol.

Alimento a más de 100m en la dirección del Sol.

Alimento a más de 100m, un ángulo α a la derecha del Sol.

Actividad

Esta actividad la realizaréis en grupos de dos o tres personas. De esta forma, podéis colaborar en los ejercicios que se os proponen y aprender juntos.

Interpretad el siguiente dibujo y asociad cada uno de los ángulos del baile de las abejas de la colmena 1, 2 y 3 con las posiciones de las fuentes de alimento, A, B y C:

1.-
2.-
3.-

Dibujad una posible ubicación de las flores si el baile de las abejas se realiza formando un ángulo de 30º en el sentido de las agujas del reloj. (Recordad que siempre tomamos como referencia para medir estos ángulos la recta que va desde la colmena hacia el Sol). Podéis usar la herramienta Paisaje con colmena.html.

Si el alimento se encuentra en los puntos D y E, ¿con qué ángulos respecto a la vertical bailarán, respectivamente, las abejas que lo hayan descubierto? Calculad aproximadamente el valor del ángulo con el transportador y confirmadlo a continuación con la herramienta Paisaje con colmena.html.

Actividad 3

Reconocimiento y descripción de rutas mediante el dibujo lineal clásico y con ayuda de Geogebra.

A veces, tenemos que describir rutas porque algún visitante de nuestra ciudad nos realiza una consulta o porque somos nosotros/as quienes estamos de visita en algún lugar de interés.

En esos momentos debemos utilizar nuestros recursos para señalar claramente la ruta y no perdernos. Como veremos a continuación podemos echar mano de los ángulos si queremos ganar en precisión. Aunque la mayoría de las veces es suficiente con señalar, por ejemplo, “a la derecha”, podremos ser mucho más exactos si decimos “girar un ángulo de 30º en el sentido de las agujas del reloj”. Vamos a verlo con un ejemplo de Bilbao.

Antes de irnos a Bilbao practicaremos en el entorno más reducido de una isla. Nos ayudará este ejemplo: De camino al trabajo, en el que se describe la siguiente ruta:

El mapa de la isla es el siguiente:

Pero volvamos a Bilbao…

Esta actividad, como la anterior, también la realizaréis en grupos de dos o tres personas.

Actividad

Unos amigos, Ana y Jon, han llegado a Bilbao para conocer la ciudad en dos jornadas. Nos han pedido que les describamos una ruta para el primer día, en el que quieren conocer la zona de Indautxu, San Mames y el Museo de Bellas Artes. Como están alojados en la plaza Moyua (1), la ruta que les propondremos enlazará los puntos 2, 3, 4 y 5 para finalizar, nuevamente, en el 1. Tras consultar en Google Maps éste ha sido nuestro mensaje:

Para calcular los ángulos podéis utilizar el fichero: Ruta1porBilbao.html

Ana y Jon han disfrutado mucho con la ruta que les hemos preparado por Bilbao para el primer día. La segunda jornada la han organizado ellos mismos y la han dedicado a visitar El Guggenheim, El Ayuntamiento y el Teatro Arriaga. Como están alojados en la plaza Moyua (1) la ruta que han seguido enlazaba los puntos 6, 7, 8, 9 y 10 del mapa, para finalizar nuevamente en el 1. Tras consultar en Google Maps nos han enviado un mensaje en el que nos describían la ruta de la segunda jornada pero lo hemos borrado por error. Tenemos, eso sí, un mapa de la ruta2 en el que Ana y Jon han reflejado su segundo día en Bilbao. Ahora, os toca a vosotros/as describir su ruta en términos semejantes a los del ejercicio anterior pero aplicados a los nuevos lugares visitados.

Descargad el fichero descripcion_ruta.zip (.odt) y lugares visitados en la segunda jornada de Ana y Jon y describid allí la ruta.

Este fin de semana vais a pasar un día en San Sebastián con vuestros amigos y amigas. Preparad la visita utilizando Google Maps y describid la ruta y los lugares que vais a visitar. No os olvidéis de visitar El Peine del Viento y publicar la ruta y algunas fotos de San Sebastián en el Blog de la clase.